*Par Dr. Pierre Montès*

4 septembre 2015

La méthode de calcul du CEP pour déterminer aux élections sénatoriales un
gagnant au premier tour à la majorité absolue par rapport au nombre total
des voix exprimées (A/T > 50%), réduit de moitié le domaine à l’intérieur
duquel un candidat serait gagnant selon la méthode exacte (méthode de
Montès), basée sur la majorité absolue par rapport au nombre total de
votants ayant déposé un vote valide (ou nombre de bulletins valides) (A/N
>50%).
Cette affirmation est en quelque sorte un théorème qui peut être
rigoureusement prouvé.
J’en suis arrivé à cette conclusion à la suite d’une analyse minutieuse de
la méthode de calcul du CEP.

*Définition de quelques quantités.- *

On commence par définir les quantités qui nous seront utiles pour la suite.

· *N *est le nombre total des votants dans un département qui ont
voté et dont le vote est valide;

· *T* est le nombre total de voix valides;

· *A* est le nombre de voix valides en faveur du candidat A, ou
bien le nombre de votants ayant donné chacun une voix valide au candidat
*A*.

Le contexte dans lequel on utilisera la lettre *A* permettra au lecteur de
savoir s’il s’agit du candidat ou de son nombre de voix/votants.

· *A / N* (%) est le pourcentage du nombre de votants ayant voté
pour le candidat A par rapport au nombre total de votants *N*. C’est le
pourcentage utilisé dans la méthode exacte (Méthode de Montès).

· *A / T* (%) est le pourcentage du nombre de voix valides en
faveur du candidat *A* par rapport au nombre total de voix valides dans le
département. C’est le pourcentage de voix dans la méthode du CEP qui, nous
l’avons dit dans notre analyse antérieure, est erronée.

*Établissement de quelques relations utiles.-*

Si les électeurs (ou votants) ne votaient que pour un seul sénateur, on
aurait alors *T* = *N* et les deux pourcentages seraient identiques :

*A* / *N* = *A* / *T*, si *T* = *N* (0)

Puisqu’il y a deux sénateurs à élire, il est permis à un votant de donner
sur un seul et même bulletin de vote, une voix à un candidat et de donner
une autre voix à un autre candidat, parmi les candidats en lice dans le
département considéré. Il peut arriver que certains votants donnent une
voix à un candidat seulement; il peut y en avoir d’autres qui donnent une
voix à un candidat fictif en mettant un X pour «Aucun candidat». Dans ces
conditions, on a :

*T > N *(1)

Si tous les électeurs donnaient une voix à chacun de deux candidats de son
choix, on aurait :

*T = 2 N * (2)

Mais en général, on a :

*T < 2 N* (3)

Le nombre de voix valides en faveur du candidat *A* est toujours inférieur
ou au plus égal au nombre total de votants (ou nombre total bulletins de
vote valides) :

*A < ou =** N* (4)

On peut combiner les relations (0) à (4) en écrivant :

*0 < ou =** A < ou =** N ** T < ou =** 2 N* (5)

En divisant tous les termes dans (5) par *N* (on suppose qu’on a toujours
*N* > 0), on obtient la relation :

*0 < ou =** A / N < ou =* 1* < ou =** T / N < ou =* 2 (6)

Dans la suite de cette analyse, on fera varier (*A*/*N)* entre 0 et 1 et (
*T*/ *N*) sera compris largement entre 1 et 2 comme le montre la relation
(6).

*Relation entre A/N et A/T*

La relation entre ces deux pourcentages est simple. On peut écrire en effet:

[*A*/*N*] /[*A*/*T*] = *T*/*N* (7)

Cette relation est particulièrement intéressante. Ce qu’elle dit, c’est
que, pour le premier tour des sénatoriales, dans un département donné, le
rapport des deux pourcentages d’un candidat quelconque calculés par les
deux méthodes (Montès / CEP) est constant et égal au rapport du nombre
total de voix valides *T* et du nombre total de votants (ou de bulletins
valides) *N *dans ce département.

*Représentation graphique de la relation (7) sous forme d’abaque
adimensionnel.*

Nous savons que la valeur de *N* n’a pas été cumulée et rendue disponible
pour chaque département. Dans la suite de l’analyse théorique, nous
supposerons que cette valeur soit connue, comme l’est *T*; on suppose donc
connu le rapport *T*/*N* constant pour un département donné dans une
élection donnée.

*T*/*N* = constante (pour un département et une élection) (8)

La valeur de cette constante est, selon la relation (6) comprise entre 1 et
2 :

1* < ou =** T / N < ou =* 2 (9)

Posons provisoirement : *T*/*N* = *m*, *A*/*N* = *x* et *A*/*T* = *z*.

La relation (7) s’exprime alors sous la forme :

*x* = *m* *z* (10)

Pour une constante m, l’équation (10) est celle d’une droite passant par
l’origine des axes dans le plan z-x. Les deux pourcentages (CEP) et
(Montès) sont donc liés linéairement pour un *m*fixé.

Comme nous voulons faire varier *m* = *T*/*N* entre ses limites 1 et 2, et
que nous connaissons bien déjà les limites entre lesquelles varie x = *A*/
*N*, soit entre 0 et 1, nous allons poser plutôt *m*= y = T/N et nous
exprimons plutôt *z* en fonction de *x* et *y*.

La relation (10) s’écrit alors :

*z* = *f* (*x*, *y*) = *x/y* (11)

La fonction *f* est une fonction de deux variables réelles. Elle fait
correspondre à tout point (*x*, *y*) pris dans un domaine *D* (un
sous-ensemble borné et fermé) inclus dans R2 (plan x-y)), une valeur
réelle unique *z* comprise entre 0 et 1.

*D* = { (*x*, *y*) | 0 < ou = *x* < ou = 1 et 1 < ou = *y* < ou = 2 }
(12)

Le point (0,0) n’appartient pas au domaine de définition *D* de la fonction
*f*, et son comportement au point (0,0) en dehors de *D* est sans
conséquence sur sa continuité à l’intérieur de *D*.

Pour pouvoir illustrer graphiquement la fonction *z* = *f *(*x*, *y*) dans
le plan *x*-*y *et pour faciliter l’interprétation du graphique qui sera
construit, nous allons d’abord choisir une valeur constante pour *z*
(disons *z* = *k*1) que nous introduirons dans l’équation (11), puis nous
représenterons graphiquement la relation entre *x* = *A*/*N* et *y* = *T*/
*N* dans le domaine *D* pour la valeur constante *k*1 choisie pour *z* :
on obtiendra ainsi la ligne iso-valeur *z* = *A*/*T* = *k*1. Nous
répéterons cette opération pour d’autres valeurs constantes de *z* égales à
*k*2, *k*3, etc., autant de fois qu’il nous sera nécessaire, pour bien
mettre en évidence le comportement de cette fonction *z = f *(*A/N, T/N*)
= *A*/*T* dans tout le domaine de définition *D*. Nous aurons ainsi un
ensemble de lignes (des lignes droites ici) iso-valeurs *z* = *k*1, *k*2,
*k*3, …, *k*n. Nous serons alors bien armés pour analyser le graphique
obtenu.

*Analyse du graphique montrant les iso-valeurs z = A/T= k1, k2, etc. dans
le domaine D du plan x-y ( x = A/N et y = T/N). *

Le graphique se construit aisément. Il est illustré sur la figure suivante.

Le domaine *D* du plan x-y est un rectangle. La variable *x* = A/N varie
entre 0% et 100%. La variable *y* = *T*/*N* varie entre 1 et 2.

Nous avons tracé sur *D* les iso-valeurs *z* = *A*/*T* = 0%, 25%, 50%,
75%. L’iso-valeur 100% est réduite à un point dans le domaine *D*, c’est
le point *E*.

a) *Interprétation graphique de la règle de majorité absolue utilisée
dans la méthode de Montès.-*

Sur le graphique nous avons ajouté la droite *x* = *A*/*N* = 50%. Elle
divise le domaine en deux moitiés : moitié gauche et moitié droite.
Les résultats d’une élection donnée sont situés sur une droite horizontale
d’ordonnée *y* = *T*/*N* = constante pour cette élection dans un
département donné. Pour un candidat *A* ayant obtenu le nombre de voix *A*,
l’abscisse *x* = *A*/*N* du point (*x*,*y*) = (*A*/*N*, *T*/*N*), à
l’intérieur du domaine *D*, représente le pourcentage des votants ayant
voté pour lui par rapport au nombre total des votants (méthode Montès). Si
le point (*x*,*y*) est situé à droite de ligne en trait discontinu *PM*,
d’équation *x* = *A*/*N* = 50%, ce candidat gagne au premier tour à la
majorité absolue Dans le cas contraire il ne satisfait pas à la règle de la
majorité absolue.
Dans la méthode de Montès, cette règle est juste en ce sens qu’un couple (
*x*, *y*), pris au hasard sur une horizontale *y* = *T*/*N*, a autant de
chance de tomber à gauche (entre 0 et 50%- epsilon) ou à droite (entre
50%+epsilon et 100%) du seuil de 50%.

b) *Interprétation graphique de la règle de majorité absolue utilisée
dans la méthode du CEP.-*

De même, les résultats d’une élection donnée sont situés sur une droite
horizontale d’ordonnée *y* = *T*/*N* = constante dans un département
donné. Pour un candidat *A* ayant obtenu le nombre de voix *A*, le point (
*x*,*y*) = (*A*/*N*, *T*/*N*) est situé sur une ligne iso-valeur *z* = *A*/
*T*. Cette valeur représente le pourcentage des voix obtenues par le
candidat *A* par rapport au nombre total de voix *T* dans le département
(méthode CEP).

Si la valeur cette valeur *z* = *A*/*T* en un point (*x*, *y*) est
inconnue, mais si les coordonnées de du point sont connues, on peut
déterminer aisément sur quelle ligne iso-valeur (tracée ou non) le point
est situé. Il suffit de diviser l’abscisse *x* = *A*/*N* par l’ordonnée *y*
= *T*/*N*; le résultat de cette division est l’iso-valeur sur laquelle se
trouve le point en question.

Pour une élection donnée, on considère l’horizontale *y* = *T*/*N*. Cette
droite coupe la droite *CP*du graphique en un point. La droite *CP* est
l’iso-valeur *z* = *A*/*T* = 50% selon la méthode CEP. Pour gagner à la
majorité absolue des voix exprimées, selon la méthode du CEP, il faut que
le résultat du candidat corresponde à un point (*x*, *y*) situé à droite de
la ligne en trait discontinu *CP*. Dans le cas contraire il ne satisfait
pas à la règle de la majorité absolue selon la méthode du CEP.
On s’aperçoit aisément que la méthode du CEP n’est pas juste puisque la
partie de l’horizontale* y* = *T*/*N* située à droite de l’iso-valeur *z*
= *A*/*T* = 50% est beaucoup plus petite que la partie située à gauche. Et
la partie horizontale située à droite est d’autant plus petite que
l’ordonnée *y* = *T*/*N* est grande. En d’autres termes, plus il y a de
votants qui votent en donnant une voix à deux candidats différents
(plus *y* augmente entre 1 et 2), moins grande est la chance pour le candidat qui arrive en tête, de franchir la ligne *CP* et de gagner à la majorité absolue.

Si un candidat *A* reçoit une voix de chacun de *N* votants et que
certains des *N* votants donnent leur deuxième voix à l’un des autres
candidats, alors le candidat *A* qui a fait le plein des voix (*A*=*N*) ne
peut avoir un pourcentage de 100% par la méthode du CEP. Son pourcentage
diminue de 100% à 50% lorsque *y* augmente de 1 à 2.
Et quand l’horizontale *y* = *T*/*N* atteint l’ordonnée maximale 2, alors
les chances pour le candidat *A* de gagner au 1er tour à la majorité
absolue sont quasi-nulles.

Ce graphique met à nu l’iniquité de la méthode du CEP.
Cette méthode réduit les chances d’un candidat de gagner au 1er tour,
quand il y a deux sénateurs à élire.

c) *Utilisation du graphique dans le cas des sénatoriales du 9 août
2015.- *

Revenons sur les approximations faites par la méthode de Montès dans
l’analyse faite le 24 août 2015.

Pour les élections sénatoriales du 9 août 2015, le nombre *N* de votants
(ou le nombre de bulletins valides) n’a pas été cumulé pour chacun des
départements géographiques, même si les données brutes qui auraient permis
de déterminer cette quantité étaient disponibles dans les procès-verbaux
des bureaux de vote mis en ligne par le CEP.

Dans l’analyse antérieurement publiée, ce nombre a été approximé par le
nombre de bulletins valides dans chaque département pour les élections des
députés du 9 août. Chaque électeur est sensé recevoir deux bulletins de
vote simultanément (un pour le choix d’un député, l’autre pour le choix de
2, 1, ou 0 sénateurs). Pour pouvoir appliquer la méthode de Montès, on
avait alors fait l’hypothèse que le nombre de bulletins de vote valides
comptés pour les députés soit à peu près égal à celui qui aurait été obtenu
pour les sénateurs, dans chaque département.

Sous cette hypothèse, voici la valeur approximée pour *y* = *T*/*N* dans
chaque département et le pourcentage minimum de la méthode de Montès (*x* =
*A*/*N*) qu’un candidat au sénat devrait dépasser dans chaque département
pour gagner au premier tour selon la règle de majorité de la méthode du CEP
(A/T > 50%). Les valeurs de *x* sont calculées à l’aide de l’équation
(10) dans laquelle on fait *z* = *A*/*T* = 50%:

Artibonite, *y* = *T*/*N* = 1,602, *x* minimum = *A*/*N* =
80,1%
Centre, *y* = *T*/*N* = 1,480, *x* minimum = A/N = 74%
Grand-Anse, *y* = *T*/*N* = 1,359, *x* minimum = A/N = 68%
Nippes, *y* = *T*/*N* = 1,540, *x* minimum = A/N = 77%
Nord, *y* = *T*/*N* = 1,537, *x* minimum = A/N = 76,9%
Nord-Est, *y* = *T*/*N* = 1,270, *x* minimum = A/N = 63,4%
Nord-Ouest, *y* = *T*/*N* = 1,467, *x* minimum = A/N = 73,4%
Ouest, *y* = *T*/*N* = 1,561, *x* minimum = A/N = 78%
Sud, *y* = *T*/*N* = 1,472, *x* minimum = A/N = 73,6%
Sud-Est, *y* = *T*/*N* = 1,551, *x* minimum = A/N = 77,6%

Pour la méthode exacte (méthode de Montès), il suffirait pour un candidat
d’avoir un pourcentage *x* = *A*/*N * > 50% pour gagner au premier tour à
la majorité absolue des votants.

Les calculs approchés faits dans l’analyse antérieure ont montré que les
pourcentages *A*/*N* approximés pour les 4 candidats en tête dans chaque
département étaient tous inférieurs à 50%+1.

* Figure unique*